MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră vectorii u⃗=i⃗+2j⃗+3k⃗\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}, v⃗=2i⃗−j⃗+k⃗\vec{v} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, și w⃗=j⃗−k⃗\vec{w} = \vec{j} - \vec{k} în spațiul tridimensional. Determinați scalarii x,y,zx, y, z astfel încât vectorul a⃗=xu⃗+yv⃗+zw⃗\vec{a} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w} să fie ortogonal pe planul determinat de punctele A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,1,0)B(0,1,0), C(0,0,1)C(0,0,1). Apoi, calculați volumul paralelipipedului determinat de u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea vectorilor AB→=(−1,1,0)\overrightarrow{AB} = (-1,1,0) și AC→=(−1,0,1)\overrightarrow{AC} = (-1,0,1) și calculul produsului vectorial AB→×AC→\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} pentru a obține vectorul normal n⃗=(1,1,1)\vec{n} = (1,1,1) al planului ABC.
22 puncte
Scrierea condiției a⃗∥n⃗\vec{a} \parallel \vec{n}, adică xu⃗+yv⃗+zw⃗=kn⃗x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w} = k\vec{n}, ceea ce conduce la sistemul de ecuații: {x+2y=k2x−y+z=k3x+y−z=k\begin{cases} x + 2y = k \\ 2x - y + z = k \\ 3x + y - z = k \end{cases}.
33 puncte
Rezolvarea sistemului, obținând x=2k5x = \frac{2k}{5}, y=3k10y = \frac{3k}{10}, z=k2z = \frac{k}{2}; alegând k=10k=10 pentru simplitate, se găsesc x=4x=4, y=3y=3, z=5z=5.
43 puncte
Calculul determinantului matricei formate din componentele lui u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}: det⁡(1232−1101−1)=10\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 10, deci volumul paralelipipedului este ∣10∣=10|10| = 10 unități cubice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.