MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f(x)=x3−6x2+9x−2f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2. Studiați monotonie și determinați punctele de extrem ale funcției. Demonstrați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are trei rădăcini reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculați derivata funcției: f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 - 12x + 9.
22 puncte
Rezolvați ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice: 3x2−12x+9=0⇒x2−4x+3=03x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0, deci x=1x=1 și x=3x=3.
32 puncte
Determinați intervalele de monotonie: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<1x<1 sau x>3x>3, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru 1<x<31<x<3, deci ff este crescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1], descrescătoare pe [1,3][1,3], crescătoare pe [3,∞)[3, \infty).
42 puncte
Calculați valorile funcției în punctele critice: f(1)=2f(1)=2 (maxim local), f(3)=−2f(3)=-2 (minim local).
52 puncte
Folosind teorema valorii intermediare și monotonie, arătați că f(x)=0f(x)=0 are rădăcini în (−∞,1)(-\infty,1), (1,3)(1,3) și (3,∞)(3,\infty), deci trei rădăcini reale distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.