MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăIdentități algebrice
Demonstrați că ∑k=0nCnk⋅Ckm=Cnm⋅2n−m\sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot C_k^m = C_n^m \cdot 2^{n-m} pentru orice numere naturale n≥mn \geq m. Folosiți o metodă combinatorică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Considerăm mulțimea AA cu nn elemente. Vom număra în două moduri numărul de perechi (B,C)(B, C) unde B⊆AB \subseteq A, ∣B∣=k|B| = k, și C⊆BC \subseteq B, ∣C∣=m|C| = m.
24 puncte
Pe de o parte, pentru fiecare kk de la 0 la nn, alegem BB în CnkC_n^k moduri, apoi CC în CkmC_k^m moduri, deci total ∑k=0nCnk⋅Ckm\sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot C_k^m. Pe de altă parte, alegem mai întâi CC din AA în CnmC_n^m moduri, apoi pentru fiecare element din A∖CA \setminus C (care are n−mn-m elemente), decidem dacă îl includem în BB sau nu, în 2n−m2^{n-m} moduri, deci total Cnm⋅2n−mC_n^m \cdot 2^{n-m}.
32 puncte
Cele două expresii reprezintă același număr, deci egalitatea este adevărată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.