MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Determinați asimptotele funcției și studiați variația acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: (0,∞)(0, \infty). Asimptotă verticală: lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡xx=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty, deci x=0x = 0 este asimptotă verticală.
23 puncte
Asimptotă orizontală: lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡xx=0\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 (folosind regula lui l'Hôpital sau comparație), deci y=0y = 0 este asimptotă orizontală.
34 puncte
Variația: se calculează derivata: f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}. Semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru ln⁡x<1\ln x < 1 adică x<ex < e, și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>ex > e. Așadar, funcția este crescătoare pe (0,e)(0, e) și descrescătoare pe (e,∞)(e, \infty), cu maxim în x=ex = e, f(e)=1ef(e) = \frac{1}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.