MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDerivate
Fie funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2+mx+nx−2f(x) = \frac{2x^2 + mx + n}{x-2}. Determinați mm și nn astfel încât graficul funcției să aibă asimptota oblică y=2x+1y = 2x + 1 și să treacă prin punctul (3,10)(3,10). Apoi, pentru valorile găsite, calculați derivata funcției și determinați intervalele de monotonie.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condiția pentru asimptota oblică. Efectuăm împărțirea polinoamelor: f(x)=2x+(m+4)+n+2m+8x−2f(x) = 2x + (m+4) + \frac{n+2m+8}{x-2}. Pentru ca asimptota oblică să fie y=2x+1y=2x+1, trebuie ca m+4=1m+4=1, deci m=−3m=-3.
22 puncte
Utilizăm condiția ca graficul să treacă prin punctul (3,10)(3,10): f(3)=10f(3)=10. Calculăm f(3)=2⋅9+m⋅3+n3−2=18+3m+n=10f(3) = \frac{2\cdot 9 + m\cdot 3 + n}{3-2} = 18+3m+n = 10. Cu m=−3m=-3, obținem 18+3(−3)+n=10⇒9+n=10⇒n=118+3(-3)+n=10 \Rightarrow 9+n=10 \Rightarrow n=1.
32 puncte
Pentru m=−3m=-3 și n=1n=1, funcția devine f(x)=2x2−3x+1x−2f(x) = \frac{2x^2 -3x +1}{x-2}. Calculăm derivata: f′(x)=(4x−3)(x−2)−(2x2−3x+1)(x−2)2=4x2−8x−3x+6−2x2+3x−1(x−2)2=2x2−8x+5(x−2)2f'(x) = \frac{(4x-3)(x-2) - (2x^2-3x+1)}{(x-2)^2} = \frac{4x^2-8x-3x+6-2x^2+3x-1}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 -8x +5}{(x-2)^2}.
43 puncte
Studiem semnul derivatei pentru a determina monotonia. Numitorul (x−2)2>0(x-2)^2 > 0 pentru x≠2x \neq 2. Numărătorul N(x)=2x2−8x+5N(x)=2x^2-8x+5 are rădăcinile x1,2=2±62x_{1,2} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2} (rezolvând 2x2−8x+5=02x^2-8x+5=0). Astfel, N(x)>0N(x) > 0 pentru x∈(−∞,2−62)∪(2+62,∞)x \in (-\infty, 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (2 + \frac{\sqrt{6}}{2}, \infty) și N(x)<0N(x) < 0 pentru x∈(2−62,2+62)x \in (2 - \frac{\sqrt{6}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}), excluzând x=2x=2. Funcția este crescătoare pe (−∞,2−62](-\infty, 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}] și [2+62,∞)[2 + \frac{\sqrt{6}}{2}, \infty) și descrescătoare pe [2−62,2)[2 - \frac{\sqrt{6}}{2}, 2) și (2,2+62](2, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.