MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+ax+bx−1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x-1}. Știind că graficul funcției are o asimptotă oblică y=x+3y = x + 3 și că f(0)=2f(0)=2, determinați aa și bb, apoi găsiți asimptota verticală și studiați monotonia funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru asimptota oblică, se împarte polinomul numărător la numitor: f(x)=x2+ax+bx−1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x-1}. Efectuăm împărțirea: x2+ax+b=(x−1)(x+(a+1))+(a+b+1)x^2 + ax + b = (x-1)(x + (a+1)) + (a+b+1). Deci f(x)=x+(a+1)+a+b+1x−1f(x) = x + (a+1) + \frac{a+b+1}{x-1}. Condiția pentru asimptota oblică y=x+3y = x + 3 implică că lim⁡x→±∞a+b+1x−1=0\lim_{x \to \pm \infty} \frac{a+b+1}{x-1} = 0, iar coeficienții trebuie să fie egali: x+(a+1)=x+3x + (a+1) = x + 3, deci a+1=3⇒a=2a+1 = 3 \Rightarrow a = 2.
23 puncte
Din f(0)=2f(0)=2, avem f(0)=02+a⋅0+b0−1=b−1=−b=2⇒b=−2f(0) = \frac{0^2 + a \cdot 0 + b}{0-1} = \frac{b}{-1} = -b = 2 \Rightarrow b = -2. Verificăm cu a=2a=2: a+b+1=2−2+1=1a+b+1 = 2-2+1=1, deci f(x)=x+3+1x−1f(x) = x + 3 + \frac{1}{x-1}, consistent cu asimptota.
33 puncte
Asimptota verticală este la x=1x=1 deoarece lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty. Pentru monotonie, calculăm derivata: f′(x)=(2x+a)(x−1)−(x2+ax+b)(x−1)2=2x2−2x+ax−a−x2−ax−b(x−1)2=x2−2x−a−b(x−1)2f'(x) = \frac{(2x+a)(x-1) - (x^2+ax+b)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + ax - a - x^2 - ax - b}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - a - b}{(x-1)^2}. Cu a=2a=2 și b=−2b=-2, f′(x)=x2−2x−2−(−2)(x−1)2=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 2 - (-2)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}. Studiem semnul: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) (funcție crescătoare) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,1)∪(1,2)x \in (0,1) \cup (1,2) (funcție descrescătoare).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.