MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieArii și volume
În triunghiul ABC, unghiurile A și B au măsurile de 45° și respectiv 60°. Înălțimea din A, AD, are lungimea 6, cu D pe BC. Calculați lungimea înălțimii din B, BE, folosind funcții trigonometrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
În triunghiul dreptunghic ADB, cu ∠ADB=90°\angle ADB = 90° și ∠ABD=60°\angle ABD = 60°, folosiți sin⁡(60°)=ADAB\sin(60°) = \frac{AD}{AB} pentru a găsi AB=6sin⁡(60°)=43AB = \frac{6}{\sin(60°)} = 4\sqrt{3}.
22 puncte
Aplicați teorema sinusurilor în triunghiul ABC: ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}, unde ∠C=180°−45°−60°=75°\angle C = 180° - 45° - 60° = 75°. Calculați BC=AB⋅sin⁡45°sin⁡75°BC = AB \cdot \frac{\sin 45°}{\sin 75°}.
32 puncte
Calculați sin⁡45°=22\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} și sin⁡75°=6+24\sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, și obțineți BC=43⋅226+24=866+2BC = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. Rationalizați pentru a simplifica la BC=12−43BC = 12 - 4\sqrt{3}.
42 puncte
Calculați aria triunghiului ABC folosind înălțimea AD: Aria=12⋅BC⋅AD=12⋅(12−43)⋅6=36−123Aria = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot (12 - 4\sqrt{3}) \cdot 6 = 36 - 12\sqrt{3}.
51 punct
Folosiți aria triunghiului ABC exprimată cu înălțimea BE: Aria=12⋅AC⋅BEAria = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BE. Găsiți AC din teorema sinusurilor: AC=AB⋅sin⁡Bsin⁡C=43⋅sin⁡60°sin⁡75°=6(6−2)AC = AB \cdot \frac{\sin B}{\sin C} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sin 60°}{\sin 75°} = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2}), apoi calculați BE=2⋅AriaAC=26BE = \frac{2 \cdot Aria}{AC} = 2\sqrt{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.