MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie determinantul D=∣abcbcacab∣D = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Demonstrați că dacă a+b+c=0a+b+c=0, atunci D=0D=0. b) Exprimați DD în funcție de a+b+ca+b+c și ab+bc+caab+bc+ca. c) Calculați DD pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scriem determinantul și adunăm toate liniile: L1←L1+L2+L3L_1 \leftarrow L_1 + L_2 + L_3, obținând ∣a+b+ca+b+ca+b+cbcacab∣\begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}.
24 puncte
Dacă a+b+c=0a+b+c=0, atunci prima linie are toate elementele zero, deci D=0D=0.
34 puncte
Factorizăm a+b+ca+b+c: D=(a+b+c)∣111bcacab∣D = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}. Calculăm acest determinant prin dezvoltare sau operații pe linii: ∣111bcacab∣=a2+b2+c2−ab−bc−ca\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca. Astfel, D=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)D = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca). Pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, avem a+b+c=6a+b+c=6 și a2+b2+c2−ab−bc−ca=1+4+9−2−6−3=3a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca = 1+4+9-2-6-3=3, deci D=6⋅3=18D=6 \cdot 3 = 18.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.