MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Să se determine asimptotele acestei funcții și să se arate că graficul ei intersectează asimptota orizontală.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție este (0,∞)(0, \infty) deoarece ln⁡x\ln x este definit pentru x>0x>0 și x≠0x \neq 0 nu este inclus.
23 puncte
Asimptota verticală: calculăm lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡xx\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x}. Cum ln⁡x→−∞\ln x \to -\infty și x→0+x \to 0^+, avem ln⁡xx→−∞\frac{\ln x}{x} \to -\infty, deci dreapta x=0x=0 este asimptotă verticală.
33 puncte
Asimptota orizontală: calculăm lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡xx=0\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 (folosind regula lui l'Hôpital sau comparația de creștere), deci dreapta y=0y=0 este asimptotă orizontală.
42 puncte
Intersecția cu asimptota orizontală: rezolvăm f(x)=0f(x)=0, adică ln⁡xx=0⇒ln⁡x=0⇒x=1\frac{\ln x}{x}=0 \Rightarrow \ln x=0 \Rightarrow x=1. Verificăm f(1)=0f(1)=0, deci graficul intersectează asimptota orizontală în punctul (1,0)(1,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.