MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Considerăm un semicerc de rază RR cu centrul în origine și ecuația y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2} pentru x∈[−R,R]x \in [-R, R]. Un dreptunghi este înscris în acest semicerc, cu baza pe axa OxOx și vârfurile superioare pe semicerc. Determinați dimensiunile dreptunghiului care maximizează aria acestuia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimați aria dreptunghiului ca funcție de xx: dacă un vârf are coordonatele (x,0)(x, 0) și (x,y)(x, y) cu y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2}, atunci lățimea este 2x2x și înălțimea yy, deci aria A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x \sqrt{R^2 - x^2} pentru x∈[0,R]x \in [0, R].
23 puncte
Calculați derivata: A′(x)=2R2−x2+2x⋅−xR2−x2=2(R2−2x2)R2−x2A'(x) = 2\sqrt{R^2 - x^2} + 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2(R^2 - 2x^2)}{\sqrt{R^2 - x^2}}.
33 puncte
Studiați semnul derivatei: A′(x)=0A'(x) = 0 pentru x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}} (pozitiv în [0,R2)[0, \frac{R}{\sqrt{2}}) și negativ în (R2,R](\frac{R}{\sqrt{2}}, R]).
42 puncte
Maximul este atins la x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}}, cu dimensiunile: lățimea 2R\sqrt{2}R și înălțimea R2\frac{R}{\sqrt{2}}, iar aria maximă Amax⁡=R2A_{\max} = R^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.