MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
În planul cartezian, se consideră dreptele de ecuații: d1:2x−3y+1=0d_1: 2x - 3y + 1 = 0, d2:x+y−4=0d_2: x + y - 4 = 0, și d3:ax+by+c=0d_3: ax + by + c = 0, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor d1d_1 și d2d_2. b) Pentru ce valori ale lui aa, bb, cc dreapta d3d_3 trece prin punctul de intersecție găsit și este perpendiculară pe d1d_1? c) Verificați dacă punctul (1,2)(1,2) aparține tuturor dreptelor care satisfac condițiile de la b).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvarea sistemului format din ecuațiile dreptelor d1d_1 și d2d_2: {2x−3y+1=0x+y−4=0\begin{cases} 2x - 3y + 1 = 0 \\ x + y - 4 = 0 \end{cases}. Din a doua ecuație, x=4−yx = 4 - y. Substituind în prima: 2(4−y)−3y+1=0⇒8−2y−3y+1=0⇒9−5y=0⇒y=952(4 - y) - 3y + 1 = 0 \Rightarrow 8 - 2y - 3y + 1 = 0 \Rightarrow 9 - 5y = 0 \Rightarrow y = \frac{9}{5}. Atunci x=4−95=20−95=115x = 4 - \frac{9}{5} = \frac{20 - 9}{5} = \frac{11}{5}. Punctul de intersecție este P(115,95)P\left(\frac{11}{5}, \frac{9}{5}\right).
24 puncte
Condiția ca d3d_3 să treacă prin PP: a⋅115+b⋅95+c=0⇒11a+9b+5c=0a \cdot \frac{11}{5} + b \cdot \frac{9}{5} + c = 0 \Rightarrow 11a + 9b + 5c = 0. Condiția de perpendicularitate între d3d_3 și d1d_1: pantele lor satisfac md1⋅md3=−1m_{d_1} \cdot m_{d_3} = -1. Ecuația d1d_1 se poate scrie y=23x+13y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}, deci md1=23m_{d_1} = \frac{2}{3}. Ecuația d3d_3: dacă b≠0b \neq 0, y=−abx−cby = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}, deci md3=−abm_{d_3} = -\frac{a}{b}. Atunci 23⋅(−ab)=−1⇒−2a3b=−1⇒2a3b=1⇒2a=3b⇒a=32b\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{a}{b}\right) = -1 \Rightarrow -\frac{2a}{3b} = -1 \Rightarrow \frac{2a}{3b} = 1 \Rightarrow 2a = 3b \Rightarrow a = \frac{3}{2}b. Dacă b=0b = 0, atunci d3d_3 este verticală, iar d1d_1 nu este verticală, deci nu pot fi perpendiculare; deci b≠0b \neq 0. Sistemul de condiții: 11a+9b+5c=011a + 9b + 5c = 0 și a=32ba = \frac{3}{2}b. Substituind: 11⋅32b+9b+5c=0⇒332b+9b+5c=0⇒33b+18b2+5c=0⇒51b2+5c=0⇒51b+10c=0⇒c=−5110b11 \cdot \frac{3}{2}b + 9b + 5c = 0 \Rightarrow \frac{33}{2}b + 9b + 5c = 0 \Rightarrow \frac{33b + 18b}{2} + 5c = 0 \Rightarrow \frac{51b}{2} + 5c = 0 \Rightarrow 51b + 10c = 0 \Rightarrow c = -\frac{51}{10}b. Soluția generală: a=32ba = \frac{3}{2}b, c=−5110bc = -\frac{51}{10}b, cu b≠0b \neq 0 real.
33 puncte
Verificarea pentru punctul (1,2)(1,2): ecuația d3d_3 devine a⋅1+b⋅2+c=0a \cdot 1 + b \cdot 2 + c = 0. Folosind relațiile de la b), a+2b+c=32b+2b−5110b=(1510+2010−5110)b=−1610b=−85ba + 2b + c = \frac{3}{2}b + 2b - \frac{51}{10}b = \left(\frac{15}{10} + \frac{20}{10} - \frac{51}{10}\right)b = \frac{-16}{10}b = -\frac{8}{5}b. Aceasta este zero doar dacă b=0b = 0, dar b≠0b \neq 0 din condiții. Deci punctul (1,2)(1,2) nu aparține tuturor dreptelor d3d_3 care satisfac condițiile, deoarece pentru b≠0b \neq 0, a+2b+c≠0a + 2b + c \neq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.