MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În triunghiul ABCABC, se cunoaște m(∠A)=60∘m(\angle A)=60^\circ, iar lungimile laturilor ABAB și ACAC sunt rădăcinile ecuației x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12=0, cu AB>ACAB > AC. Calculați lungimea laturii BCBC și sinusul unghiului BB.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Rezolvarea ecuației x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12=0, obținând x1=4x_1=4 și x2=3x_2=3. Deoarece AB>ACAB > AC, rezultă AB=4AB=4 și AC=3AC=3.
24 puncte
Aplicând teorema cosinusului în triunghiul ABCABC pentru unghiul AA: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡60∘BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ. Înlocuind: BC2=42+32−2⋅4⋅3⋅12=16+9−12=13BC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 9 - 12 = 13, deci BC=13BC = \sqrt{13}.
34 puncte
Aplicând teorema sinusurilor: BCsin⁡A=ACsin⁡B\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}. Astfel, sin⁡B=AC⋅sin⁡ABC=3⋅sin⁡60∘13=3⋅3213=33213=33926\sin B = \frac{AC \cdot \sin A}{BC} = \frac{3 \cdot \sin 60^\circ}{\sqrt{13}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{39}}{26} (după raționalizare).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.