MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareVectori
Fie vectorii u⃗=2i⃗−j⃗+k⃗\vec{u} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, v⃗=i⃗+3j⃗−2k⃗\vec{v} = \vec{i} + 3\vec{j} - 2\vec{k}, și w⃗=ai⃗+bj⃗+ck⃗\vec{w} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}. Determinați scalarii aa, bb, cc astfel încât w⃗\vec{w} să fie o combinație liniară a lui u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}, și să verifice condițiile w⃗⋅u⃗=5\vec{w} \cdot \vec{u} = 5 și w⃗⋅v⃗=−3\vec{w} \cdot \vec{v} = -3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se scrie w⃗=αu⃗+βv⃗\vec{w} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}, cu α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}, de unde a=2α+βa = 2\alpha + \beta, b=−α+3βb = -\alpha + 3\beta, c=α−2βc = \alpha - 2\beta.
23 puncte
Condițiile devin w⃗⋅u⃗=α(u⃗⋅u⃗)+β(v⃗⋅u⃗)=6α−3β=5\vec{w} \cdot \vec{u} = \alpha(\vec{u} \cdot \vec{u}) + \beta(\vec{v} \cdot \vec{u}) = 6\alpha - 3\beta = 5 și w⃗⋅v⃗=α(u⃗⋅v⃗)+β(v⃗⋅v⃗)=−3α+14β=−3\vec{w} \cdot \vec{v} = \alpha(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \beta(\vec{v} \cdot \vec{v}) = -3\alpha + 14\beta = -3, formând sistemul {6α−3β=5−3α+14β=−3\begin{cases} 6\alpha - 3\beta = 5 \\ -3\alpha + 14\beta = -3 \end{cases}.
32 puncte
Rezolvarea sistemului: din prima ecuație, β=2α−53\beta = 2\alpha - \frac{5}{3}; substituind în a doua, se obține α=6175\alpha = \frac{61}{75}, apoi β=−125\beta = -\frac{1}{25}.
42 puncte
Calculul lui aa, bb, cc: a=2⋅6175−125=11975a = 2\cdot\frac{61}{75} - \frac{1}{25} = \frac{119}{75}, b=−6175+3⋅(−125)=−1415b = -\frac{61}{75} + 3\cdot\left(-\frac{1}{25}\right) = -\frac{14}{15}, c=6175−2⋅(−125)=6775c = \frac{61}{75} - 2\cdot\left(-\frac{1}{25}\right) = \frac{67}{75}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.