MediuEcuații iraționaleClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații iraționale

MediuEcuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere RealeDomeniul de definiție al funcțiilor
Determinați valorile reale ale parametrului aa pentru care ecuația x2+a2=x+2a\sqrt{x^2 + a^2} = x + 2a are exact o soluție reală.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Stabilim condițiile de existență: x2+a2≥0x^2 + a^2 \geq 0 (întotdeauna adevărată pentru x,a∈Rx, a \in \mathbb{R}) și x+2a≥0x + 2a \geq 0 deoarece radicalul este nenegativ, deci x≥−2ax \geq -2a.
24 puncte
Ridicăm la pătrat: x2+a2=(x+2a)2=x2+4ax+4a2x^2 + a^2 = (x + 2a)^2 = x^2 + 4ax + 4a^2. Simplificăm: a2=4ax+4a2a^2 = 4ax + 4a^2, deci 4ax+3a2=04ax + 3a^2 = 0. Factorizăm: a(4x+3a)=0a(4x + 3a) = 0. Cazurile: a=0a = 0 sau 4x+3a=04x + 3a = 0.
33 puncte
Analizăm cazurile: Dacă a=0a = 0, ecuația devine x2=x\sqrt{x^2} = x, care are soluții pentru x≥0x \geq 0 (deci infinit de multe, nu exact una). Dacă a≠0a \neq 0, atunci x=−3a4x = -\frac{3a}{4}. Substituim în condiția x≥−2ax \geq -2a: −3a4≥−2a-\frac{3a}{4} \geq -2a. Rezolvăm: −3a4+2a≥0⇒5a4≥0⇒a≥0-\frac{3a}{4} + 2a \geq 0 \Rightarrow \frac{5a}{4} \geq 0 \Rightarrow a \geq 0. Dar a≠0a \neq 0, deci a>0a > 0. Pentru a>0a > 0, x=−3a4x = -\frac{3a}{4} este unică și verifică condiția, deoarece x+2a=5a4>0x + 2a = \frac{5a}{4} > 0. Așadar, pentru a>0a > 0, ecuația are exact o soluție reală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații iraționale

Greu#1Ecuații iraționale
Fie a>0a > 0 un parametru real. Se consideră ecuația x+a−x−a=1\sqrt{x + a} - \sqrt{x - a} = 1. a) Determinați condițiile de existență pentru xx. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Pentru ce valori ale lui aa ecuația are soluție reală? d) Pentru a=2a = 2, calculați x2x^2.
Greu#2Ecuații iraționale
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru. Se consideră ecuația x2−4x+a=x−2\sqrt{x^2 - 4x + a} = x - 2. a) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are sens. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are exact două soluții reale distincte. d) Pentru a=5a = 5, calculați suma soluțiilor ecuației.
Greu#3Ecuații iraționale
Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația x+3−x−2=4x+1\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x+1}. a) Stabiliți condițiile de existență. b) Ridicați la pătrat și simplificați. c) Verificați soluțiile obținute.
Ușor#4Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (x2−1)2x−1=0.(x^2 - 1)\sqrt{2x - 1} = 0.
Vezi toate problemele de Ecuații iraționale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații iraționale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.