MediuAsimptoteClasa 12

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteIntegrale definiteMonotonie și convexitate
Considerăm funcția f(x)=2xx2−9f(x) = \frac{2x}{x^2 - 9}. a) Să se determine asimptotele funcției. b) Să se calculeze ∫45f(x) dx\int_{4}^{5} f(x) \, dx. c) Să se studieze monotonia funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se determină asimptotele verticale: x2−9=0⇒x=±3x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3. lim⁡x→−3f(x)=∞\lim_{x \to -3} f(x) = \infty și lim⁡x→3f(x)=∞\lim_{x \to 3} f(x) = \infty, deci dreptele x=−3x=-3 și x=3x=3 sunt asimptote verticale.
22 puncte
Se determină asimptota orizontală: lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0, deci dreapta y=0y=0 este asimptotă orizontală.
33 puncte
Se calculează integrala: ∫452xx2−9dx=[ln⁡∣x2−9∣]45=ln⁡∣25−9∣−ln⁡∣16−9∣=ln⁡16−ln⁡7=ln⁡(167)\int_{4}^{5} \frac{2x}{x^2 - 9} dx = \left[ \ln|x^2 - 9| \right]_{4}^{5} = \ln|25 - 9| - \ln|16 - 9| = \ln 16 - \ln 7 = \ln\left(\frac{16}{7}\right).
42 puncte
Se studiează monotonia: f′(x)=2(x2−9)−2x⋅2x(x2−9)2=−2x2−18(x2−9)2=−2(x2+9)(x2−9)2<0f'(x) = \frac{2(x^2 - 9) - 2x \cdot 2x}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-2x^2 - 18}{(x^2 - 9)^2} = -\frac{2(x^2 + 9)}{(x^2 - 9)^2} < 0 pentru x∈Dfx \in D_f, deci funcția este descrescătoare pe fiecare interval al domeniului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.