MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {(m+1)x+2y=34x+(m−1)y=5\begin{cases} (m+1)x + 2y = 3 \\ 4x + (m-1)y = 5 \end{cases}, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui mm pentru care sistemul are soluție unică. b) Pentru m=2m=2, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer. c) Discutați, în funcție de mm, natura soluțiilor sistemului (soluție unică, nici o soluție, o infinitate de soluții).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se scrie determinantul matricei coeficienților: Δ=∣m+124m−1∣=(m+1)(m−1)−8=m2−9\Delta = \begin{vmatrix} m+1 & 2 \\ 4 & m-1 \end{vmatrix} = (m+1)(m-1) - 8 = m^2 - 9.
23 puncte
Pentru soluție unică, Δ≠0\Delta \neq 0, adică m2−9≠0⇒m≠±3m^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow m \neq \pm 3.
33 puncte
Pentru m=2m=2, Δ=22−9=4−9=−5≠0\Delta = 2^2 - 9 = 4 - 9 = -5 \neq 0. Calculăm Δx=∣3251∣=3⋅1−2⋅5=3−10=−7\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 5 = 3 - 10 = -7 și Δy=∣3345∣=3⋅5−3⋅4=15−12=3\Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 3 \cdot 5 - 3 \cdot 4 = 15 - 12 = 3. Atunci x=ΔxΔ=−7−5=75x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5} și y=ΔyΔ=3−5=−35y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}.
42 puncte
Dacă Δ=0\Delta = 0, adică m=±3m = \pm 3, se discută cazurile: pentru m=3m=3, sistemul devine {4x+2y=34x+2y=5\begin{cases} 4x + 2y = 3 \\ 4x + 2y = 5 \end{cases}, incompatibil (nici o soluție); pentru m=−3m=-3, sistemul devine {−2x+2y=34x−4y=5\begin{cases} -2x + 2y = 3 \\ 4x - 4y = 5 \end{cases}, iar prin înmulțirea primei ecuații cu 2, se obține {−4x+4y=64x−4y=5\begin{cases} -4x + 4y = 6 \\ 4x - 4y = 5 \end{cases}, adunând, rezultă 0=110 = 11, deci incompatibil (nici o soluție).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.