MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră determinantul D(x)=∣1xx212x4x213x9x2∣D(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & 2x & 4x^2 \\ 1 & 3x & 9x^2 \end{vmatrix}. Calculați D(x)D(x) și determinați toate valorile reale ale lui xx pentru care D(x)=0D(x) = 0. Apoi, pentru xx astfel încât D(x)≠0D(x) \neq 0, rezolvați sistemul de ecuații liniare: {x1+xx2+x2x3=1x1+2xx2+4x2x3=2x1+3xx2+9x2x3=3\begin{cases} x_1 + x x_2 + x^2 x_3 = 1 \\ x_1 + 2x x_2 + 4x^2 x_3 = 2 \\ x_1 + 3x x_2 + 9x^2 x_3 = 3 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului D(x)D(x): se scade prima linie din celelalte, obținând D(x)=∣1xx20x3x202x8x2∣=1⋅∣x3x22x8x2∣=x⋅8x2−3x2⋅2x=8x3−6x3=2x3D(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & x & 3x^2 \\ 0 & 2x & 8x^2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} x & 3x^2 \\ 2x & 8x^2 \end{vmatrix} = x \cdot 8x^2 - 3x^2 \cdot 2x = 8x^3 - 6x^3 = 2x^3.
22 puncte
D(x)=0⇒2x3=0⇒x=0D(x) = 0 \Rightarrow 2x^3 = 0 \Rightarrow x = 0. Deci pentru x≠0x \neq 0, D(x)≠0D(x) \neq 0.
35 puncte
Pentru x≠0x \neq 0, sistemul are soluție unică. Matricea coeficienților are determinantul D(x)=2x3≠0D(x) = 2x^3 \neq 0. Folosind regula lui Cramer, se calculează: D1=∣1xx222x4x233x9x2∣=2x3D_1 = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 2 & 2x & 4x^2 \\ 3 & 3x & 9x^2 \end{vmatrix} = 2x^3 (similar cu D(x)D(x)), D2=∣11x2124x2139x2∣=0D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & x^2 \\ 1 & 2 & 4x^2 \\ 1 & 3 & 9x^2 \end{vmatrix} = 0, D3=∣1x112x213x3∣=0D_3 = \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 1 & 2x & 2 \\ 1 & 3x & 3 \end{vmatrix} = 0. Astfel, x1=D1D(x)=1x_1 = \frac{D_1}{D(x)} = 1, x2=D2D(x)=0x_2 = \frac{D_2}{D(x)} = 0, x3=D3D(x)=0x_3 = \frac{D_3}{D(x)} = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.