MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMonotonie și convexitate
Demonstrați că ecuația x3−3x+1=0x^3 - 3x + 1 = 0 are exact trei rădăcini reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Se definește funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1.
23 puncte
Se calculează derivata: f′(x)=3x2−3=3(x2−1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1). Punctele critice sunt x=−1x = -1 și x=1x = 1.
32 puncte
Se analizează monotonie: pe (−∞,−1)(-\infty, -1), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare; pe (−1,1)(-1, 1), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff descrescătoare; pe (1,∞)(1, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare.
42 puncte
Se evaluează: f(−1)=3f(-1) = 3, f(1)=−1f(1) = -1, lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty.
52 puncte
Prin teorema valorii intermediare și monotonie, pe (−∞,−1)(-\infty, -1) există o rădăcină, pe (−1,1)(-1, 1) există o rădăcină, pe (1,∞)(1, \infty) există o rădăcină; acestea sunt distincte datorită intervalelor disjuncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.