MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x+x2f(x) = e^{-x} + x^2. a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. b) Studiați convexitatea funcției ff pe R\mathbb{R}. c) Demonstrați că f(x)≥1f(x) \geq 1 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=−e−x+2xf'(x) = -e^{-x} + 2x. Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0 pentru a găsi punctele critice.
22 puncte
Analizăm semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele determinate de punctele critice, indicând creșterea și scăderea funcției.
33 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=e−x+2f''(x) = e^{-x} + 2. Observăm că f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci ff este convexă pe R\mathbb{R}.
42 puncte
Datorită convexității și valorii f(0)=1f(0)=1, aplicăm inegalitatea funcțiilor convexe sau direct calcul pentru a demonstra f(x)≥1f(x) \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.