MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateLogaritmiDerivate
Considerați funcția f(x)=ln⁡(x2+1)−axf(x) = \ln(x^2 + 1) - ax, unde aa este un parametru real. a) Pentru a=1a=1, determinați intervalele pe care ff este convexă sau concavă. b) Găsiți valorile lui aa pentru care ff este monotonă (fie crescătoare, fie descrescătoare) pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Pentru a=1a=1, calculăm derivata a doua: f′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2f''(x) = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}. Rezolvăm f′′(x)=0f''(x)=0 obținând x=±1x=\pm1. Analizăm semnul lui f′′(x)f''(x): convexă pe (−∞,−1)∪(1,∞)(-\infty, -1) \cup (1, \infty) și concavă pe (−1,1)(-1, 1).
26 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=2xx2+1−af'(x) = \frac{2x}{x^2+1} - a. Pentru monotonie pe R\mathbb{R}, f′(x)f'(x) trebuie să nu își schimbe semnul. Studiem funcția g(x)=2xx2+1g(x) = \frac{2x}{x^2+1} pentru a găsi imaginea sa și determinăm aa astfel încât f′(x)≥0f'(x) \geq 0 sau f′(x)≤0f'(x) \leq 0 constant.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.