MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateMonotonie și convexitateEcuații exponentiale
Arătați că ecuația ex=2−xe^x = 2 - x are o unică soluție reală. Apoi, folosind metoda înjumătățirii intervalului, aproximați această soluție cu o eroare mai mică decât 0.10.1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Considerați funcția g(x)=ex+x−2g(x) = e^x + x - 2. Demonstrați că gg este continuă pe R\mathbb{R} (ca sumă de funcții continue) și strict crescătoare (derivata g′(x)=ex+1>0g'(x) = e^x + 1 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}).
23 puncte
Aplicați teorema valorii intermediare: calculați g(0)=e0+0−2=−1<0g(0) = e^0 + 0 - 2 = -1 < 0 și g(1)=e+1−2=e−1>0g(1) = e + 1 - 2 = e - 1 > 0 (deoarece e≈2.718>1e \approx 2.718 > 1). Deci, există un unic c∈(0,1)c \in (0,1) astfel încât g(c)=0g(c)=0, adică ec=2−ce^c = 2 - c. Unicitatea rezultă din monotonia strictă.
33 puncte
Folosiți metoda înjumătățirii pe intervalul [0,1][0,1]. Calculați g(0.5)=e0.5+0.5−2≈1.6487+0.5−2=0.1487>0g(0.5) = e^{0.5} + 0.5 - 2 \approx 1.6487 + 0.5 - 2 = 0.1487 > 0. Deci, rădăcina este în [0,0.5][0, 0.5]. Calculați g(0.25)=e0.25+0.25−2≈1.2840+0.25−2=−0.4660<0g(0.25) = e^{0.25} + 0.25 - 2 \approx 1.2840 + 0.25 - 2 = -0.4660 < 0. Rădăcina este în [0.25,0.5][0.25, 0.5]. Lungimea intervalului este 0.25<0.50.25 < 0.5, dar pentru eroare <0.1<0.1, continuați: g(0.375)=e0.375+0.375−2≈1.4550+0.375−2=−0.1700<0g(0.375) = e^{0.375} + 0.375 - 2 \approx 1.4550 + 0.375 - 2 = -0.1700 < 0. Rădăcina este în [0.375,0.5][0.375, 0.5], lungime 0.125>0.10.125 > 0.1. g(0.4375)=e0.4375+0.4375−2≈1.5488+0.4375−2=−0.0137<0g(0.4375) = e^{0.4375} + 0.4375 - 2 \approx 1.5488 + 0.4375 - 2 = -0.0137 < 0. Rădăcina este în [0.4375,0.5][0.4375, 0.5], lungime 0.0625<0.10.0625 < 0.1, deci aproximarea c≈0.46875c \approx 0.46875 (mijlocul intervalului) cu eroare <0.1<0.1. Punctajul total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.