MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x−2f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}. Determinați asimptotele funcției ff și studiați poziția graficului funcției față de aceste asimptote.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se determină domeniul de definiție R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\} și punctul de discontinuitate x=2x = 2. Se calculează lim⁡x→2f(x)=lim⁡x→2x2−4x+3x−2=lim⁡x→2(x−1)(x−3)x−2\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-1)(x-3)}{x-2}, care nu există finită, deci x=2x = 2 este asimptotă verticală.
24 puncte
Pentru asimptota oblică, se calculează m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞x2−4x+3x(x−2)=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4x + 3}{x(x-2)} = 1 și n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)=lim⁡x→∞(x2−4x+3x−2−x)=lim⁡x→∞−2x+3x−2=−2n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - 4x + 3}{x-2} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x + 3}{x-2} = -2. Deci asimptota oblică este y=x−2y = x - 2.
33 puncte
Se studiază poziția graficului față de asimptota oblică calculând f(x)−(x−2)=−2x+3x−2f(x) - (x-2) = \frac{-2x + 3}{x-2}; pentru x→∞x \to \infty, aceasta tinde la −2-2, dar semnul indică poziția deasupra sau dedesubt în funcție de xx.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.