MediuEcuații iraționaleClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații iraționale

MediuEcuații iraționaleFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația x2−4x+3+x2−5x+6=1\sqrt{x^2 - 4x + 3} + \sqrt{x^2 - 5x + 6} = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: x2−4x+3≥0x^2 - 4x + 3 \ge 0 și x2−5x+6≥0x^2 - 5x + 6 \ge 0. Rezolvând inecuațiile, x2−4x+3≥0⇒(x−1)(x−3)≥0x^2 - 4x + 3 \ge 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) \ge 0, deci x≤1x \le 1 sau x≥3x \ge 3; x2−5x+6≥0⇒(x−2)(x−3)≥0x^2 - 5x + 6 \ge 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) \ge 0, deci x≤2x \le 2 sau x≥3x \ge 3. Intersecția domeniilor este x≤1x \le 1 sau x≥3x \ge 3.
23 puncte
Notăm a=x2−4x+3a = \sqrt{x^2 - 4x + 3} și b=x2−5x+6b = \sqrt{x^2 - 5x + 6}. Ecuația devine a+b=1a + b = 1. Ridicăm la pătrat: (a+b)2=1⇒a2+2ab+b2=1(a+b)^2 = 1 \Rightarrow a^2 + 2ab + b^2 = 1. Înlocuim a2=x2−4x+3a^2 = x^2 - 4x + 3 și b2=x2−5x+6b^2 = x^2 - 5x + 6, obținând 2x2−9x+9+2ab=1⇒2ab=−2x2+9x−82x^2 - 9x + 9 + 2ab = 1 \Rightarrow 2ab = -2x^2 + 9x - 8.
33 puncte
Exprimăm ab=(x2−4x+3)(x2−5x+6)ab = \sqrt{(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 5x + 6)}. Din 2ab=−2x2+9x−82ab = -2x^2 + 9x - 8, avem ab=−2x2+9x−82ab = \frac{-2x^2 + 9x - 8}{2}. Ridicăm la pătrat: (ab)2=(−2x2+9x−82)2(ab)^2 = \left(\frac{-2x^2 + 9x - 8}{2}\right)^2. Dar (ab)2=(x2−4x+3)(x2−5x+6)(ab)^2 = (x^2 - 4x + 3)(x^2 - 5x + 6). Egalăm și simplificăm: (x2−4x+3)(x2−5x+6)=(−2x2+9x−8)24(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 5x + 6) = \frac{(-2x^2 + 9x - 8)^2}{4}. După calcule, se obține 3x2−12x+8=03x^2 -12x +8 = 0. Rezolvăm: x=12±486=2±233x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.
42 puncte
Verificăm soluțiile în domeniu și în ecuația originală. x=2−233≈0.845≤1x = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0.845 \le 1 și x=2+233≈3.155≥3x = 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 3.155 \ge 3, deci ambele sunt în domeniu. Înlocuind în ecuația originală, se confirmă că satisfac ecuația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații iraționale

Greu#1Ecuații iraționale
Fie a>0a > 0 un parametru real. Se consideră ecuația x+a−x−a=1\sqrt{x + a} - \sqrt{x - a} = 1. a) Determinați condițiile de existență pentru xx. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Pentru ce valori ale lui aa ecuația are soluție reală? d) Pentru a=2a = 2, calculați x2x^2.
Greu#2Ecuații iraționale
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru. Se consideră ecuația x2−4x+a=x−2\sqrt{x^2 - 4x + a} = x - 2. a) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are sens. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are exact două soluții reale distincte. d) Pentru a=5a = 5, calculați suma soluțiilor ecuației.
Greu#3Ecuații iraționale
Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația x+3−x−2=4x+1\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x+1}. a) Stabiliți condițiile de existență. b) Ridicați la pătrat și simplificați. c) Verificați soluțiile obținute.
Ușor#4Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (x2−1)2x−1=0.(x^2 - 1)\sqrt{2x - 1} = 0.
Vezi toate problemele de Ecuații iraționale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații iraționale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.