MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorAsimptote
Fie funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}. Determinați: a) Domeniul de definiție și asimptotele funcției. b) Intervalele de monotonie și punctele de extrem. c) Ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=0x = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul este R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\}. Asimptota verticală: x=2x=2. Pentru asimptota oblică, se calculează limitele: lim⁡x→±∞f(x)x=1\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și lim⁡x→±∞(f(x)−x)=2\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - x) = 2, deci asimptota oblică este y=x+2y = x + 2.
23 puncte
Derivata: f′(x)=(2x)(x−2)−(x2−1)(x−2)2=x2−4x+1(x−2)2f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2-1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x-2)^2}. Se rezolvă x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0, obținând x=2±3x = 2 \pm \sqrt{3}. Intervalele de monotonie: ff este crescătoare pe (−∞,2−3)(-\infty, 2-\sqrt{3}) și (2+3,∞)(2+\sqrt{3}, \infty), descrescătoare pe (2−3,2)(2-\sqrt{3}, 2) și (2,2+3)(2, 2+\sqrt{3}).
32 puncte
Puncte de extrem: maxim local în x=2−3x = 2-\sqrt{3}, f(2−3)=2−23f(2-\sqrt{3}) = 2-2\sqrt{3}; minim local în x=2+3x = 2+\sqrt{3}, f(2+3)=2+23f(2+\sqrt{3}) = 2+2\sqrt{3}.
43 puncte
Pentru x=0x=0, f(0)=12f(0) = \frac{1}{2} și f′(0)=14f'(0) = \frac{1}{4}. Ecuația tangentei: y−12=14(x−0)y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}(x - 0), adică y=14x+12y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.