MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateGeometrie Analitică
Se consideră funcția f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1). Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x = 1. Aflați punctele în care această tangentă intersectează parabola de ecuație y=x2−2x+2y = x^2 - 2x + 2 și calculați distanța dintre aceste puncte.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculăm derivata funcției f(x)f(x): f′(x)=2xx2+1f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}. Atunci f′(1)=2⋅112+1=1f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1} = 1 și f(1)=ln⁡(12+1)=ln⁡2f(1) = \ln(1^2 + 1) = \ln 2. Punctul de tangență este (1,ln⁡2)(1, \ln 2).
22 puncte
Ecuația tangentei în punctul (1,ln⁡2)(1, \ln 2) cu panta 11 este y−ln⁡2=1⋅(x−1)y - \ln 2 = 1 \cdot (x - 1), adică y=x−1+ln⁡2y = x - 1 + \ln 2.
33 puncte
Rezolvăm sistemul pentru a găsi intersecția dintre tangentă și parabolă: {y=x−1+ln⁡2y=x2−2x+2\begin{cases} y = x - 1 + \ln 2 \\ y = x^2 - 2x + 2 \end{cases}. Echivalăm: x−1+ln⁡2=x2−2x+2x - 1 + \ln 2 = x^2 - 2x + 2, deci x2−3x+3−ln⁡2=0x^2 - 3x + 3 - \ln 2 = 0. Rezolvăm ecuația pătratică: discriminantul Δ=(−3)2−4⋅1⋅(3−ln⁡2)=9−12+4ln⁡2=4ln⁡2−3\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - \ln 2) = 9 - 12 + 4\ln 2 = 4\ln 2 - 3. Deoarece ln⁡2≈0.693\ln 2 \approx 0.693, Δ>0\Delta > 0, deci există două soluții reale: x1,2=3±4ln⁡2−32x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{4\ln 2 - 3}}{2}. Atunci punctele de intersecție sunt A(3−4ln⁡2−32,3−4ln⁡2−32−1+ln⁡2)A\left(\frac{3 - \sqrt{4\ln 2 - 3}}{2}, \frac{3 - \sqrt{4\ln 2 - 3}}{2} - 1 + \ln 2\right) și B(3+4ln⁡2−32,3+4ln⁡2−32−1+ln⁡2)B\left(\frac{3 + \sqrt{4\ln 2 - 3}}{2}, \frac{3 + \sqrt{4\ln 2 - 3}}{2} - 1 + \ln 2\right).
42 puncte
Distanța dintre punctele AA și BB este d=(xB−xA)2+(yB−yA)2d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. Observăm că yB−yA=(xB−1+ln⁡2)−(xA−1+ln⁡2)=xB−xAy_B - y_A = (x_B - 1 + \ln 2) - (x_A - 1 + \ln 2) = x_B - x_A, deci d=(xB−xA)2+(xB−xA)2=2∣xB−xA∣d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (x_B - x_A)^2} = \sqrt{2} |x_B - x_A|. Dar xB−xA=4ln⁡2−3x_B - x_A = \sqrt{4\ln 2 - 3}, deci d=2⋅4ln⁡2−3=8ln⁡2−6d = \sqrt{2} \cdot \sqrt{4\ln 2 - 3} = \sqrt{8\ln 2 - 6}.
51 punct
Distanța cerută este 8ln⁡2−6\sqrt{8\ln 2 - 6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.