MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateLogaritmiDerivate
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−x+1f(x) = x \ln x - x + 1. a) Demonstrați că ff este strict descrescătoare pe intervalul (0,1)(0,1) și strict crescătoare pe intervalul (1,∞)(1,\infty). b) Arătați că ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x (deoarece derivata lui xln⁡xx \ln x este ln⁡x+1\ln x + 1 și derivata lui −x-x este −1-1).
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x): f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,1)x \in (0,1), f′(1)=0f'(1)=0, f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>1x > 1.
32 puncte
Concluzia monotoniei: ff este strict descrescătoare pe (0,1)(0,1) și strict crescătoare pe (1,∞)(1,\infty); punctul x=1x=1 este minim global.
42 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=1x>0f''(x) = \frac{1}{x} > 0 pentru x>0x > 0, deci ff este strict convexă pe (0,∞)(0, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.