MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=e−x2⋅(x2−1)f(x) = e^{-x^2} \cdot (x^2 - 1). Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local și studiați convexitatea funcției pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=e−x2⋅(−2x)(x2−1)+e−x2⋅2x=e−x2⋅(−2x3+4x)=2xe−x2(2−x2)f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x)(x^2 - 1) + e^{-x^2} \cdot 2x = e^{-x^2} \cdot (-2x^3 + 4x) = 2x e^{-x^2} (2 - x^2).
23 puncte
Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0: 2xe−x2(2−x2)=0⇒x=02x e^{-x^2} (2 - x^2) = 0 \Rightarrow x = 0 sau x=±2x = \pm\sqrt{2}.
32 puncte
Se studiază semnul lui f′(x)f'(x): pe (−∞,−2)(-\infty, -\sqrt{2}), f′(x)<0f'(x) < 0; pe (−2,0)(-\sqrt{2}, 0), f′(x)>0f'(x) > 0; pe (0,2)(0, \sqrt{2}), f′(x)>0f'(x) > 0; pe (2,∞)(\sqrt{2}, \infty), f′(x)<0f'(x) < 0. Funcția este descrescătoare pe (−∞,−2](-\infty, -\sqrt{2}] și [2,∞)[\sqrt{2}, \infty), crescătoare pe [−2,0][-\sqrt{2}, 0] și [0,2][0, \sqrt{2}]. Punctele x=−2x = -\sqrt{2} și x=2x = \sqrt{2} sunt minime locale, iar x=0x = 0 este maxim local.
42 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=e−x2⋅(4x4−14x2+4)f''(x) = e^{-x^2} \cdot (4x^4 - 14x^2 + 4). Se rezolvă f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x2=7±334x^2 = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{4}, obținând patru puncte de inflexiune. Se studiază semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 pe intervalele unde funcția este convexă și f′′(x)<0f''(x) < 0 unde este concavă.
51 punct
Concluzii: Extremele sunt precizate, iar convexitatea este determinată de semnul derivatei a doua pe intervalele respective.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.