MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareGeometrie AnaliticăVectori
În planul cartezian, se consideră dreptele de ecuații: d1:2x−y=1d_1: 2x - y = 1, d2:x+3y=7d_2: x + 3y = 7 și d3:3x+2y=8d_3: 3x + 2y = 8. Determinați punctul de intersecție al dreptelor d1d_1 și d2d_2, apoi verificați dacă acest punct este coliniar cu originea axelor de coordonate.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Rezolvați sistemul format din ecuațiile dreptelor d1d_1 și d2d_2: {2x−y=1x+3y=7\begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + 3y = 7 \end{cases}. Din a doua ecuație, x=7−3yx = 7 - 3y. Înlocuiți în prima: 2(7−3y)−y=1⇒14−6y−y=1⇒−7y=−13⇒y=1372(7 - 3y) - y = 1 \Rightarrow 14 - 6y - y = 1 \Rightarrow -7y = -13 \Rightarrow y = \frac{13}{7}. Atunci x=7−3⋅137=7−397=49−397=107x = 7 - 3 \cdot \frac{13}{7} = 7 - \frac{39}{7} = \frac{49 - 39}{7} = \frac{10}{7}. Punctul de intersecție este P(107,137)P\left(\frac{10}{7}, \frac{13}{7}\right).
23 puncte
Verificați dacă punctul PP aparține dreptei d3d_3: 3⋅107+2⋅137=307+267=567=83 \cdot \frac{10}{7} + 2 \cdot \frac{13}{7} = \frac{30}{7} + \frac{26}{7} = \frac{56}{7} = 8, deci PP satisface ecuația lui d3d_3.
33 puncte
Pentru a verifica coliniaritatea cu originea O(0,0)O(0,0), calculați dacă punctele OO, PP și un alt punct de pe una dintre drepte sunt coliniare. De exemplu, verificați dacă vectorii OP→=(107,137)\overrightarrow{OP} = \left(\frac{10}{7}, \frac{13}{7}\right) și OQ→\overrightarrow{OQ} pentru QQ pe d1d_1 sunt dependenți liniar. Alegem Q(1,1)Q(1,1) de pe d1d_1 (deoarece 2⋅1−1=12\cdot1 - 1 = 1). Atunci OQ→=(1,1)\overrightarrow{OQ} = (1,1). Determinantul ∣10713711∣=107⋅1−137⋅1=−37≠0\begin{vmatrix} \frac{10}{7} & \frac{13}{7} \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = \frac{10}{7} \cdot 1 - \frac{13}{7} \cdot 1 = \frac{-3}{7} \neq 0, deci vectorii sunt liniar independenți, iar punctele nu sunt coliniare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.