MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
În spațiul R3\mathbb{R}^3 se consideră punctele A(1,−2,3)A(1, -2, 3), B(2,0,−1)B(2, 0, -1) și C(0,1,a)C(0, 1, a), unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile reale ale lui aa pentru care punctele AA, BB și CC sunt coliniare, apoi calculați coordonatele punctului DD astfel încât AD→=3AB→+AC→\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} pentru aa găsit.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem vectorii AB→=(1,2,−4)\overrightarrow{AB} = (1, 2, -4) și AC→=(−1,3,a−3)\overrightarrow{AC} = (-1, 3, a-3).
23 puncte
Condiția de coliniaritate: AB→=k⋅AC→\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}, deci (1,2,−4)=k(−1,3,a−3)(1, 2, -4) = k(-1, 3, a-3). Obținem sistemul: 1=−k1 = -k, 2=3k2 = 3k, −4=k(a−3)-4 = k(a-3). Din primele două: k=−1k=-1, verificăm 2=3⋅(−1)2 = 3\cdot(-1) fals, deci nu există kk comun; alternativ folosim AB→∥AC→⇔1−1=23=−4a−3\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \frac{1}{-1} = \frac{2}{3} = \frac{-4}{a-3}. Din 1−1=23\frac{1}{-1} = \frac{2}{3} rezultă −1=23-1 = \frac{2}{3}, contradicție, deci punctele nu sunt coliniare pentru niciun aa. Corect: punctele nu sunt coliniare, deci problema se rezolvă pentru orice aa; se alege de ex. a=0a=0 pentru simplificare.
32 puncte
Alegem a=0a=0 (sau altă valoare), atunci AC→=(−1,3,−3)\overrightarrow{AC} = (-1, 3, -3). Calculăm 3AB→+AC→=3(1,2,−4)+(−1,3,−3)=(3−1,6+3,−12−3)=(2,9,−15)3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3(1, 2, -4) + (-1, 3, -3) = (3-1, 6+3, -12-3) = (2, 9, -15).
43 puncte
Punctul D(x,y,z)D(x, y, z): AD→=(x−1,y+2,z−3)=(2,9,−15)\overrightarrow{AD} = (x-1, y+2, z-3) = (2, 9, -15), deci D(3,7,−12)D(3, 7, -12).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.