MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiNumere ComplexeMatrici
Fie matricea A=(1i−1i−11−11i)A = \begin{pmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{pmatrix}. Calculați determinantul lui AA și arătați că A3=kI3A^3 = kI_3 pentru un anumit k∈Ck \in \mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm determinantul folosind regula lui Sarrus: det⁡(A)=1⋅(−1)⋅i+i⋅1⋅(−1)+(−1)⋅i⋅1−(−1)⋅(−1)⋅(−1)−1⋅1⋅1−i⋅i⋅i\det(A) = 1 \cdot (-1) \cdot i + i \cdot 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot i \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 1 \cdot 1 - i \cdot i \cdot i. Simplificând, det⁡(A)=−i−i−i+1−1−i3\det(A) = -i - i - i + 1 - 1 - i^3. Știind că i2=−1i^2 = -1 și i3=−ii^3 = -i, obținem det⁡(A)=−3i+1−1+i=−2i\det(A) = -3i + 1 - 1 + i = -2i.
23 puncte
Calculăm A2=A⋅AA^2 = A \cdot A și apoi A3=A2⋅AA^3 = A^2 \cdot A. Folosind înmulțirea matricelor, găsim A2=(−1−2i0−2i−1000−1)A^2 = \begin{pmatrix} -1 & -2i & 0 \\ -2i & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} și A3=(−2i000−2i000−2i)=−2iI3A^3 = \begin{pmatrix} -2i & 0 & 0 \\ 0 & -2i & 0 \\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix} = -2i I_3.
33 puncte
Deci, A3=kI3A^3 = kI_3 cu k=−2i∈Ck = -2i \in \mathbb{C}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.