MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați identitatea combinatorică: ∑k=0nCnk⋅k=n⋅2n−1\sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot k = n \cdot 2^{n-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se scrie suma ∑k=0nCnk⋅k\sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot k. Folosind definiția, Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}, deci termenul general este k⋅n!k!(n−k)!k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}.
24 puncte
Se observă că kCnk=nCn−1k−1k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1} pentru k≥1k \geq 1. Așadar, suma devine ∑k=1nnCn−1k−1=n∑j=0n−1Cn−1j\sum_{k=1}^{n} n C_{n-1}^{k-1} = n \sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} (cu schimbarea de variabilă j=k−1j = k-1).
32 puncte
Se știe că ∑j=0n−1Cn−1j=2n−1\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} = 2^{n-1}. Prin urmare, ∑k=0nCnk⋅k=n⋅2n−1\sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot k = n \cdot 2^{n-1}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.