MediuAsimptoteClasa 12

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+3x+2x−1f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x-1}. Determinați asimptotele graficului funcției. Apoi, calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției, asimptota oblică și dreptele x=2x=2 și x=4x=4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Determinarea asimptotelor. Asimptota verticală: x=1x=1 deoarece lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty (numitorul se anulează și numărătorul este nenul: 12+3⋅1+2=6≠01^2+3\cdot1+2=6\neq0). Asimptota oblică: efectuăm împărțirea polinoamelor: f(x)=x2+3x+2x−1=x+4+6x−1f(x) = \frac{x^2+3x+2}{x-1} = x+4 + \frac{6}{x-1}. Deci asimptota oblică este y=x+4y=x+4.
23 puncte
Setarea integralei pentru arie. Aria cerută este mărginită de graficul lui ff, asimptota oblică y=x+4y=x+4 și dreptele x=2x=2, x=4x=4. Deoarece f(x)−(x+4)=6x−1>0f(x) - (x+4) = \frac{6}{x-1} > 0 pentru x∈[2,4]x \in [2,4], aria este dată de integrala ∫24[f(x)−(x+4)] dx=∫246x−1 dx\int_{2}^{4} [f(x) - (x+4)] \, dx = \int_{2}^{4} \frac{6}{x-1} \, dx.
33 puncte
Calculul integralei. ∫6x−1 dx=6ln⁡∣x−1∣+C\int \frac{6}{x-1} \, dx = 6 \ln|x-1| + C. Evaluăm: ∫246x−1 dx=[6ln⁡∣x−1∣]24=6ln⁡∣4−1∣−6ln⁡∣2−1∣=6ln⁡3−6ln⁡1=6ln⁡3\int_{2}^{4} \frac{6}{x-1} \, dx = [6 \ln|x-1|]_{2}^{4} = 6 \ln|4-1| - 6 \ln|2-1| = 6 \ln 3 - 6 \ln 1 = 6 \ln 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.