MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(2102)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, An=(2nn⋅2n−102n)A^n = \begin{pmatrix} 2^n & n \cdot 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm cazul n=1n=1: A1=(2102)A^1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} și (211⋅20021)=(2102)\begin{pmatrix} 2^1 & 1 \cdot 2^{0} \\ 0 & 2^1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, deci egalitatea este adevărată.
24 puncte
Presupunem că pentru un n≥1n \geq 1 fixat, are loc An=(2nn⋅2n−102n)A^n = \begin{pmatrix} 2^n & n \cdot 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} (ipoteza de inducție).
34 puncte
Demonstrăm pentru n+1n+1: calculăm An+1=An⋅A=(2nn⋅2n−102n)(2102)=(2n+12n+n⋅2n02n+1)=(2n+1(n+1)⋅2n02n+1)A^{n+1} = A^n \cdot A = \begin{pmatrix} 2^n & n \cdot 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{n+1} & 2^n + n \cdot 2^{n} \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{n+1} & (n+1) \cdot 2^{n} \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.