MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \ge 1, are loc egalitatea: 13+23+33+⋯+n3=(n(n+1)2)21^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1: 13=11^3 = 1 și (1⋅22)2=12=1\left( \frac{1 \cdot 2}{2} \right)^2 = 1^2 = 1, deci egalitatea este adevărată.
21 punct
Presupunem că egalitatea este adevărată pentru n=kn=k, adică 13+23+⋯+k3=(k(k+1)2)21^3 + 2^3 + \dots + k^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 (ipoteza de inducție).
36 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1. Avem: 13+23+⋯+k3+(k+1)3=(k(k+1)2)2+(k+1)3=k2(k+1)24+(k+1)3=(k+1)2(k24+k+1)=(k+1)2⋅k2+4k+44=(k+1)2⋅(k+2)24=((k+1)(k+2)2)21^3 + 2^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3 = \frac{k^2 (k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + k+1 \right) = (k+1)^2 \cdot \frac{k^2 + 4k + 4}{4} = (k+1)^2 \cdot \frac{(k+2)^2}{4} = \left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2. Așadar, egalitatea este adevărată pentru n=k+1n=k+1.
41 punct
Concluzie: Prin principiul inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru orice n≥1n \ge 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.