MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} în plan, astfel încât ∣u⃗∣=3|\vec{u}| = 3, ∣v⃗∣=4|\vec{v}| = 4 și măsura unghiului dintre ei este θ=60∘\theta = 60^\circ. a) Calculați produsul scalar u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Utilizând proprietățile produsului scalar, demonstrați că ∣u⃗+v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2+2u⃗⋅v⃗|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} și calculați ∣u⃗+v⃗∣|\vec{u} + \vec{v}|. c) Determinați măsura unghiului dintre u⃗\vec{u} și u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}, exprimând rezultatul folosind funcții trigonometrice (de exemplu, cosinusul unghiului).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calcul produs scalar: u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ=3⋅4⋅cos⁡60∘=12⋅12=6\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6.
24 puncte
Demonstrarea formulei: ∣u⃗+v⃗∣2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=u⃗⋅u⃗+v⃗⋅v⃗+2u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2+2u⃗⋅v⃗|\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} + 2\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}. Apoi calcul: ∣u⃗+v⃗∣2=32+42+2⋅6=9+16+12=37|\vec{u} + \vec{v}|^2 = 3^2 + 4^2 + 2 \cdot 6 = 9 + 16 + 12 = 37, deci ∣u⃗+v⃗∣=37|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{37}.
33 puncte
Unghiul dintre u⃗\vec{u} și u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}: Fie α\alpha unghiul. Atunci cos⁡α=u⃗⋅(u⃗+v⃗)∣u⃗∣∣u⃗+v⃗∣=u⃗⋅u⃗+u⃗⋅v⃗3⋅37=9+6337=15337=537\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v})}{|\vec{u}| |\vec{u} + \vec{v}|} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v}}{3 \cdot \sqrt{37}} = \frac{9 + 6}{3\sqrt{37}} = \frac{15}{3\sqrt{37}} = \frac{5}{\sqrt{37}}. Deci α=arccos⁡(537)\alpha = \arccos \left( \frac{5}{\sqrt{37}} \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.