MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff, determinând intervalele de monotonie, intervalele de convexitate/concavitate și punctele de extrem, respectiv de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2x e^{-x^2}.
23 puncte
Determinarea monotoniei: rezolvarea inecuației f′(x)>0f'(x) > 0, obținând x<0x < 0, deci ff crescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0) și descrescătoare pe (0,∞)(0, \infty); punct de maxim local la x=0x=0, f(0)=1f(0)=1.
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=(4x2−2)e−x2f''(x) = (4x^2 - 2) e^{-x^2}.
43 puncte
Determinarea convexității: rezolvarea inecuației f′′(x)>0f''(x) > 0, obținând x2>12x^2 > \frac{1}{2}, adică x<−22x < -\frac{\sqrt{2}}{2} sau x>22x > \frac{\sqrt{2}}{2}; ff convexă pe (−∞,−22)∪(22,∞)(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty) și concavă pe (−22,22)(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}); puncte de inflexiune la x=±22x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.