MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie punctele A(a,1)A(a,1), B(2,b)B(2,b) și C(3,4)C(3,4). Determinați aa și bb astfel încât aria triunghiului ABCABC să fie egală cu 5 și punctele să fie necoliniare.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aria triunghiului ABCABC este dată de 12∣det⁡(M)∣\frac{1}{2} |\det(M)|, unde M=(a112b1341)M = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 2 & b & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}. Impunem condiția 12∣det⁡(M)∣=5\frac{1}{2} |\det(M)| = 5, deci ∣det⁡(M)∣=10|\det(M)| = 10. Calculăm det⁡(M)=a(b⋅1−1⋅4)−1(2⋅1−1⋅3)+1(2⋅4−b⋅3)=a(b−4)−1(2−3)+1(8−3b)=a(b−4)+1+8−3b=a(b−4)+9−3b\det(M) = a(b \cdot 1 - 1 \cdot 4) - 1(2 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 1(2 \cdot 4 - b \cdot 3) = a(b-4) - 1(2-3) + 1(8-3b) = a(b-4) + 1 + 8 - 3b = a(b-4) + 9 - 3b.
24 puncte
Avem ∣a(b−4)+9−3b∣=10|a(b-4) + 9 - 3b| = 10. Rezolvăm ecuațiile: a(b−4)+9−3b=10a(b-4) + 9 - 3b = 10 și a(b−4)+9−3b=−10a(b-4) + 9 - 3b = -10. Din prima, a(b−4)=1+3ba(b-4) = 1 + 3b. Alegem, de exemplu, b=5b=5, atunci a(1)=1+15=16a(1)=1+15=16, deci a=16a=16. Verificăm: det⁡(M)=16(5−4)+9−15=10\det(M) = 16(5-4)+9-15=10, deci aria este 5. Din a doua, a(b−4)=−19+3ba(b-4) = -19 + 3b. Pentru b=0b=0, a(−4)=−19a(-4)=-19, deci a=194a=\frac{19}{4}.
32 puncte
Punctele sunt necoliniare deoarece det⁡(M)≠0\det(M) \neq 0 pentru valorile găsite (de exemplu, pentru a=16a=16, b=5b=5, det⁡(M)=10≠0\det(M)=10 \neq 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.