MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere RealeNumere Complexe
Fie a,b,ca, b, c numere reale. Demonstrați că a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca). Apoi, utilizați această identitate pentru a determina toate tripletele de numere complexe (x,y,z)(x, y, z) care satisfac x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Expandăm a3+b3+c3−3abca^3 + b^3 + c^3 - 3abc folosind identități algebrice: a3+b3+c3−3abc=(a+b)3+c3−3ab(a+b)−3abc=(a+b+c)((a+b)2−(a+b)c+c2)−3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b)^3 + c^3 - 3ab(a+b) - 3abc = (a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2) - 3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca).
23 puncte
Din identitate, ecuația x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz este echivalentă cu (x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)=0(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 0.
33 puncte
Rezolvăm cazurile: dacă x+y+z=0x+y+z=0, atunci orice triplet complex satisface ecuația; dacă x2+y2+z2=xy+yz+zxx^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx, aceasta se rescrie ca 12[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]=0\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2] = 0, deci x=y=zx=y=z. Soluțiile sunt toate tripletele cu x=y=zx=y=z sau cu x+y+z=0x+y+z=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.