MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {ax+y+z=1x+by+z=2x+y+cz=3\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + by + z = 2 \\ x + y + cz = 3 \end{cases}, unde a,b,ca, b, c sunt parametri reali. a) Scrieți sistemul sub formă matricială AX=BAX = B. b) Calculați determinantul matricei AA. c) Discutați, în funcție de a,b,ca, b, c, dacă sistemul are soluție unică. d) Pentru a=2,b=3,c=4a=2, b=3, c=4, rezolvați sistemul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea sistemului sub formă matricială: A=(a111b111c)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(123)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculul determinantului: det⁡(A)=a(bc−1)−1(c−1)+1(1−b)=abc−a−c+1−1+b=abc−a+b−c\det(A) = a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = abc - a - c + 1 - 1 + b = abc - a + b - c.
32 puncte
Discuția: Sistemul are soluție unică dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică abc−a+b−c≠0abc - a + b - c \neq 0. În caz contrar, pentru abc−a+b−c=0abc - a + b - c = 0, sistemul poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat.
43 puncte
Pentru a=2,b=3,c=4a=2, b=3, c=4, se calculează det⁡(A)=2⋅3⋅4−2+3−4=24−2+3−4=21≠0\det(A) = 2\cdot3\cdot4 - 2 + 3 - 4 = 24 - 2 + 3 - 4 = 21 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Folosind regula lui Cramer: x=det⁡(Ax)det⁡(A)x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} unde AxA_x se obține înlocuind prima coloană a lui AA cu BB, etc. Se obține x=121,y=221,z=37x = \frac{1}{21}, y = \frac{2}{21}, z = \frac{3}{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.