MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O firmă produce cutii dreptunghiulare cu baza pătrată. Volumul cutiei este de 32 dm332 \text{ dm}^3. Materialul pentru baza costă 2 u.m./dm22 \text{ u.m./dm}^2, iar pentru fețele laterale costă 1 u.m./dm21 \text{ u.m./dm}^2. Determinați dimensiunile cutiei astfel încât costul total al materialului să fie minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se notează latura bazei cu xx dm și înălțimea cu hh dm. Din volum: x2⋅h=32x^2 \cdot h = 32, deci h=32x2h = \frac{32}{x^2}.\n
23 puncte
Costul total: C(x)=2⋅x2+1⋅4xh=2x2+4x⋅32x2=2x2+128xC(x) = 2 \cdot x^2 + 1 \cdot 4xh = 2x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = 2x^2 + \frac{128}{x}.\n
32 puncte
Se derivează: C′(x)=4x−128x2C'(x) = 4x - \frac{128}{x^2}. Se rezolvă C′(x)=0C'(x)=0: 4x−128x2=0⇒4x3=128⇒x3=32⇒x=2434x - \frac{128}{x^2}=0 \Rightarrow 4x^3=128 \Rightarrow x^3=32 \Rightarrow x=2\sqrt[3]{4} dm.\n
42 puncte
Se verifică minimul: C′′(x)=4+256x3>0C''(x)=4+\frac{256}{x^3}>0 pentru x>0x>0, deci x=243x=2\sqrt[3]{4} este punct de minim. Atunci h=32x2=32(243)2=243h=\frac{32}{x^2}=\frac{32}{(2\sqrt[3]{4})^2}=2\sqrt[3]{4} dm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.