MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiNumere Complexe
Calculați determinantul matricei A=(1ωω2ωω21ω21ω)A = \begin{pmatrix} 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & \omega \end{pmatrix}, unde ω\omega este o rădăcină cubică a unității diferită de 1. Exprimați rezultatul în funcție de ω\omega.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se notează proprietățile lui ω\omega: ω3=1\omega^3 = 1 și 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0.\n
24 puncte
Se calculează det⁡(A)\det(A) folosind regula lui Sarrus: det⁡(A)=1⋅ω2⋅ω+ω⋅1⋅ω2+ω2⋅ω⋅1−ω2⋅ω2⋅ω2−1⋅1⋅1−ω⋅ω⋅ω\det(A) = 1 \cdot \omega^2 \cdot \omega + \omega \cdot 1 \cdot \omega^2 + \omega^2 \cdot \omega \cdot 1 - \omega^2 \cdot \omega^2 \cdot \omega^2 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - \omega \cdot \omega \cdot \omega.\n
33 puncte
Se simplifică: det⁡(A)=ω3+ω3+ω3−ω6−1−ω3=3ω3−ω6−1−ω3\det(A) = \omega^3 + \omega^3 + \omega^3 - \omega^6 - 1 - \omega^3 = 3\omega^3 - \omega^6 - 1 - \omega^3. Folosind ω3=1\omega^3 = 1 și ω6=(ω3)2=1\omega^6 = (\omega^3)^2 = 1, se obține det⁡(A)=3⋅1−1−1−1=0\det(A) = 3 \cdot 1 - 1 - 1 - 1 = 0. Astfel, det⁡(A)=0\det(A) = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.