MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x. a) Studiați monotonia funcției ff. b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției ff. c) Arătați că f(x)≥−12ef(x) \ge -\frac{1}{2e} pentru orice x>0x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=2xln⁡x+x2⋅1x=2xln⁡x+x=x(2ln⁡x+1)f'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x = x(2 \ln x + 1). Rezolvăm f′(x)=0f'(x) = 0: x=0x=0 nu este în domeniu, deci 2ln⁡x+1=0⇒ln⁡x=−12⇒x=e−12=1e2 \ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}. Studiem semnul lui f′(x)f'(x): pentru x∈(0,1e)x \in (0, \frac{1}{\sqrt{e}}), f′(x)<0f'(x) < 0 (funcția descrescătoare); pentru x∈(1e,∞)x \in (\frac{1}{\sqrt{e}}, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0 (funcția crescătoare). Punctul x=1ex = \frac{1}{\sqrt{e}} este punct de minim local.
24 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=ddx[x(2ln⁡x+1)]=(2ln⁡x+1)+x⋅2x=2ln⁡x+1+2=2ln⁡x+3f''(x) = \frac{d}{dx}[x(2 \ln x + 1)] = (2 \ln x + 1) + x \cdot \frac{2}{x} = 2 \ln x + 1 + 2 = 2 \ln x + 3. Rezolvăm f′′(x)=0f''(x) = 0: 2ln⁡x+3=0⇒ln⁡x=−32⇒x=e−32=1ee2 \ln x + 3 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{3}{2} \Rightarrow x = e^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{e\sqrt{e}}. Studiem semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x∈(0,1ee)x \in (0, \frac{1}{e\sqrt{e}}), f′′(x)<0f''(x) < 0 (funcția este concavă); pentru x∈(1ee,∞)x \in (\frac{1}{e\sqrt{e}}, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0 (funcția este convexă). Punctul x=1eex = \frac{1}{e\sqrt{e}} este punct de inflexiune.
33 puncte
Din studiul monotoniei, minimul funcției este atins în x=1ex = \frac{1}{\sqrt{e}}. Calculăm f(1e)=(1e)2ln⁡(1e)=1e⋅(−12)=−12ef\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 \ln\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e}. Deoarece acesta este minimul global, rezultă f(x)≥−12ef(x) \ge -\frac{1}{2e} pentru orice x>0x > 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.