MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
Un rezervor în formă de cilindru circular drept trebuie să aibă volumul de 50 m³. Materialul pentru bază costă de două ori mai mult pe unitatea de suprafață decât materialul pentru suprafața laterală. Determinați raza și înălțimea cilindrului astfel încât costul total să fie minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrieți formula pentru volum: V=πr2h=50V = \pi r^2 h = 50, de unde exprimați h=50πr2h = \frac{50}{\pi r^2}.
22 puncte
Definiți costurile. Fie cc costul pe m² pentru suprafața laterală. Atunci costul pentru o bază este 2c×πr22c \times \pi r^2, iar pentru două baze este 4cπr24c\pi r^2. Costul pentru suprafața laterală este c×2πrhc \times 2\pi r h. Costul total C=4cπr2+2cπrhC = 4c\pi r^2 + 2c\pi r h.
32 puncte
Înlocuiți hh: C(r)=4cπr2+2cπr⋅50πr2=4cπr2+100crC(r) = 4c\pi r^2 + 2c\pi r \cdot \frac{50}{\pi r^2} = 4c\pi r^2 + \frac{100c}{r}.
42 puncte
Derivați C(r)C(r): C′(r)=8cπr−100cr2C'(r) = 8c\pi r - \frac{100c}{r^2}. Setați C′(r)=0C'(r) = 0: 8cπr−100cr2=0⇒8cπr3=100c⇒r3=1008π=252π8c\pi r - \frac{100c}{r^2} = 0 \Rightarrow 8c\pi r^3 = 100c \Rightarrow r^3 = \frac{100}{8\pi} = \frac{25}{2\pi}, deci r=252π3r = \sqrt[3]{\frac{25}{2\pi}}.
52 puncte
Verificați minimul. Calculați a doua derivată: C′′(r)=8cπ+200cr3>0C''(r) = 8c\pi + \frac{200c}{r^3} > 0 pentru r>0r > 0, deci este minim. Calculați hh: h=50πr2=50π(252π3)2=50π⋅252/3(2π)2/3=50⋅(2π)2/3π⋅252/3=50⋅22/3π2/3π⋅54/3=50⋅22/354/3π1/3=10⋅22/351/3π1/3=210π3h = \frac{50}{\pi r^2} = \frac{50}{\pi \left( \sqrt[3]{\frac{25}{2\pi}} \right)^2} = \frac{50}{\pi \cdot \frac{25^{2/3}}{(2\pi)^{2/3}}} = \frac{50 \cdot (2\pi)^{2/3}}{\pi \cdot 25^{2/3}} = \frac{50 \cdot 2^{2/3} \pi^{2/3}}{\pi \cdot 5^{4/3}} = \frac{50 \cdot 2^{2/3}}{5^{4/3} \pi^{1/3}} = \frac{10 \cdot 2^{2/3}}{5^{1/3} \pi^{1/3}} = 2 \sqrt[3]{\frac{10}{\pi}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.