MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameMatrici
Calculați determinantul matricei A=(x111x111x)A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix} și determinați valorile reale ale lui xx pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie: det⁡(A)=x⋅det⁡(x11x)−1⋅det⁡(111x)+1⋅det⁡(1x11)=x(x2−1)−1(x−1)+1(1−x)=x3−x−x+1+1−x=x3−3x+2\det(A) = x \cdot \det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & x \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = x(x^2 - 1) - 1(x - 1) + 1(1 - x) = x^3 - x - x + 1 + 1 - x = x^3 - 3x + 2.
23 puncte
Se pune condiția det⁡(A)=0\det(A) = 0, adică x3−3x+2=0x^3 - 3x + 2 = 0.
33 puncte
Se rezolvă ecuația polinomială: x3−3x+2=(x−1)2(x+2)=0x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2) = 0, deci soluțiile sunt x=1x = 1 (dublu) și x=−2x = -2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.