MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteAlgebră și Calcule cu Numere RealeMonotonie și convexitate
Fie funcția f(x)=x2+mx+nx−1f(x) = \frac{x^2 + mx + n}{x - 1}, unde m,n∈Rm, n \in \mathbb{R}. a) Determinați mm și nn astfel încât graficul funcției să admită asimptotă oblică cu ecuația y=x+2y = x + 2 și asimptotă verticală la x=1x = 1. b) Pentru valorile găsite, determinați punctele de intersecție ale graficului cu asimptotele. c) Studiați monotonia funcției pe domeniul său de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Asimptota verticală la x=1x=1 există deoarece numitorul x−1x-1 se anulează, independent de mm și nn. Pentru asimptota oblică y=ax+by=ax+b, se calculează a=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x2+mx+nx(x−1)=1a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + mx + n}{x(x-1)} = 1 și b=lim⁡x→±∞(f(x)−ax)=lim⁡x→±∞(x2+mx+nx−1−x)=lim⁡x→±∞(m+1)x+nx−1=m+1b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{x^2 + mx + n}{x-1} - x \right) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{(m+1)x + n}{x-1} = m+1. Setând a=1a=1 și b=2b=2, obținem m+1=2m+1=2, deci m=1m=1. Pentru nn, orice valoare reală este acceptabilă, dar din calculul asimptotei oblice, nn nu afectează bb, deci se poate alege n=0n=0 pentru simplitate.
23 puncte
Cu m=1m=1 și n=0n=0, funcția devine f(x)=x2+xx−1f(x) = \frac{x^2 + x}{x-1}. Intersecția cu asimptota verticală x=1x=1 nu există deoarece funcția nu este definită în x=1x=1. Intersecția cu asimptota oblică y=x+2y=x+2 se găsește rezolvând ecuația f(x)=x+2f(x) = x+2: x2+xx−1=x+2⇒x2+x=(x+2)(x−1)⇒x2+x=x2+x−2⇒0=−2\frac{x^2 + x}{x-1} = x+2 \Rightarrow x^2 + x = (x+2)(x-1) \Rightarrow x^2 + x = x^2 + x -2 \Rightarrow 0 = -2, deci nu există puncte de intersecție.
34 puncte
Derivata funcției este f′(x)=(2x+1)(x−1)−(x2+x)(x−1)2=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{(2x+1)(x-1) - (x^2+x)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x -1}{(x-1)^2}. Se studiază semnul lui f′(x)f'(x): numitorul este pozitiv pentru x≠1x \neq 1, deci semnul depinde de numărătorul x2−2x−1x^2 - 2x -1. Rădăcinile ecuației x2−2x−1=0x^2 - 2x -1=0 sunt x=1±2x = 1 \pm \sqrt{2}. Pe domeniul (−∞,1)∪(1,∞)(-\infty, 1) \cup (1, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,1−2)∪(1+2,∞)x \in (-\infty, 1-\sqrt{2}) \cup (1+\sqrt{2}, \infty) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(1−2,1)∪(1,1+2)x \in (1-\sqrt{2}, 1) \cup (1, 1+\sqrt{2}), deci funcția este crescătoare pe (−∞,1−2](-\infty, 1-\sqrt{2}] și [1+2,∞)[1+\sqrt{2}, \infty), descrescătoare pe [1−2,1)[1-\sqrt{2}, 1) și (1,1+2](1, 1+\sqrt{2}].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.