MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=3x2+px+qx−2f(x) = \frac{3x^2 + px + q}{x - 2}, unde p,q∈Rp, q \in \mathbb{R}. Determinați pp și qq astfel încât graficul funcției să aibă asimptota oblică y=3x+4y = 3x + 4 și să treacă prin punctul (1,5)(1,5).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculează panta asimptotei oblice: m=lim⁡x→±∞f(x)x=3m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 3, care este deja satisfăcută. Apoi calculează termenul liber: n=lim⁡x→±∞(f(x)−3x)=lim⁡x→±∞3x2+px+q−3x(x−2)x−2=lim⁡x→±∞(p+6)x+qx−2=p+6n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - 3x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x^2 + px + q - 3x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{(p+6)x + q}{x-2} = p+6. Setează n=4n=4 pentru asimptota y=3x+4y=3x+4, deci p+6=4⇒p=−2p+6=4 \Rightarrow p=-2.
23 puncte
Folosește condiția că funcția trece prin (1,5)(1,5): f(1)=5f(1)=5, adică 3+p+q1−2=5⇒3+p+q=−5⇒p+q=−8\frac{3 + p + q}{1-2} = 5 \Rightarrow 3+p+q = -5 \Rightarrow p+q = -8.
32 puncte
Înlocuiește p=−2p=-2 în ecuația p+q=−8p+q=-8 și obține q=−6q=-6.
42 puncte
Verifică existența asimptotei verticale x=2x=2: calculează lim⁡x→2f(x)\lim_{x \to 2} f(x); deoarece numărătorul la x=2x=2 este 3⋅4+(−2)⋅2+(−6)=12−4−6=2≠03 \cdot 4 + (-2) \cdot 2 + (-6) = 12 -4 -6=2 \neq 0, limita este infinită, deci asimptota verticală există.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.