MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Știind că punctul A(1,2)A(1,2) este punct de inflexiune pentru graficul funcției, că tangenta în acest punct are panta −3-3, și că f(0)=1f(0)=1, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d și apoi studiați monotonia și convexitatea funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condițiile din enunț: f(1)=2f(1)=2, f′(1)=−3f'(1)=-3, f′′(1)=0f''(1)=0, f(0)=1f(0)=1.
23 puncte
Calculăm derivatele: f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c, f′′(x)=6ax+2bf''(x)=6ax+2b. Formăm sistemul de ecuații: a+b+c+d=2a+b+c+d=2, 3a+2b+c=−33a+2b+c=-3, 6a+2b=06a+2b=0, d=1d=1.
32 puncte
Rezolvăm sistemul. Din d=1d=1 și 6a+2b=06a+2b=0 obținem b=−3ab=-3a. Substituim în 3a+2b+c=−33a+2b+c=-3: 3a+2(−3a)+c=−3⇒c=3a−33a+2(-3a)+c=-3 \Rightarrow c=3a-3. Substituim în a+b+c+d=2a+b+c+d=2: a−3a+3a−3+1=2⇒a−2=2⇒a=4a-3a+3a-3+1=2 \Rightarrow a-2=2 \Rightarrow a=4. Atunci b=−12b=-12, c=9c=9, d=1d=1. Deci f(x)=4x3−12x2+9x+1f(x)=4x^3-12x^2+9x+1.
42 puncte
Studiem monotonia: f′(x)=12x2−24x+9=3(4x2−8x+3)=3(2x−1)(2x−3)f'(x)=12x^2-24x+9=3(4x^2-8x+3)=3(2x-1)(2x-3). f′(x)>0f'(x)>0 pentru x∈(−∞,1/2)∪(3/2,∞)x \in (-\infty, 1/2) \cup (3/2, \infty) (funcție crescătoare) și f′(x)<0f'(x)<0 pentru x∈(1/2,3/2)x \in (1/2, 3/2) (funcție descrescătoare). Studiem convexitatea: f′′(x)=24x−24=24(x−1)f''(x)=24x-24=24(x-1). f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x<1x<1 (funcție concavă), f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x>1x>1 (funcție convexă), iar x=1x=1 este punct de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.