MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareNumere Complexe
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {(1+i)x+(1−i)y=2(2−i)x+(1+2i)y=1−3i\begin{cases} (1+i)x + (1-i)y = 2 \\ (2-i)x + (1+2i)y = 1-3i \end{cases} , unde i2=−1i^2 = -1.
  1. Calculați determinantul principal al sistemului și aflați natura soluțiilor.
  2. Rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.
  3. Verificați dacă soluția găsită satisface prima ecuație, iar pentru a doua ecuație, calculați valoarea absolută a diferenței dintre membrul stâng și membrul drept.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul determinantului principal: Δ=∣1+i1−i2−i1+2i∣=(1+i)(1+2i)−(1−i)(2−i)=(1+2i+i+2i2)−(2−i−2i+i2)=(1+3i−2)−(2−3i−1)=(−1+3i)−(1−3i)=−1+3i−1+3i=−2+6i\Delta = \begin{vmatrix} 1+i & 1-i \\ 2-i & 1+2i \end{vmatrix} = (1+i)(1+2i) - (1-i)(2-i) = (1+2i+i+2i^2) - (2-i-2i+i^2) = (1+3i-2) - (2-3i-1) = (-1+3i) - (1-3i) = -1+3i-1+3i = -2+6i. Deci Δ≠0\Delta \neq 0, sistemul are soluție unică.
24 puncte
Determinantii auxiliari: Δx=∣21−i1−3i1+2i∣=2(1+2i)−(1−i)(1−3i)=2+4i−(1−3i−i+3i2)=2+4i−(1−4i−3)=2+4i−(−2−4i)=2+4i+2+4i=4+8i\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 1-i \\ 1-3i & 1+2i \end{vmatrix} = 2(1+2i) - (1-i)(1-3i) = 2+4i - (1-3i-i+3i^2) = 2+4i - (1-4i-3) = 2+4i - (-2-4i) = 2+4i+2+4i = 4+8i. Δy=∣1+i22−i1−3i∣=(1+i)(1−3i)−2(2−i)=(1−3i+i−3i2)−(4−2i)=(1−2i+3)−4+2i=4−2i−4+2i=0\Delta_y = \begin{vmatrix} 1+i & 2 \\ 2-i & 1-3i \end{vmatrix} = (1+i)(1-3i) - 2(2-i) = (1-3i+i-3i^2) - (4-2i) = (1-2i+3) - 4+2i = 4-2i -4+2i = 0. Soluțiile: x=ΔxΔ=4+8i−2+6ix = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{4+8i}{-2+6i}, rationalizăm: (4+8i)(−2−6i)(−2+6i)(−2−6i)=−8−24i−16i−48i24+36=−8−40i+4840=40−40i40=1−i\frac{(4+8i)(-2-6i)}{(-2+6i)(-2-6i)} = \frac{-8-24i-16i-48i^2}{4+36} = \frac{-8-40i+48}{40} = \frac{40-40i}{40} = 1-i. y=ΔyΔ=0−2+6i=0y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{0}{-2+6i} = 0.
32 puncte
Verificare pentru prima ecuație: (1+i)(1−i)+(1−i)⋅0=(1−i2)+0=1+1=2(1+i)(1-i) + (1-i)\cdot 0 = (1-i^2) + 0 = 1+1 = 2, deci satisface. Pentru a doua ecuație: membrul stâng: (2−i)(1−i)+(1+2i)⋅0=2−2i−i+i2=2−3i−1=1−3i(2-i)(1-i) + (1+2i)\cdot 0 = 2-2i-i+i^2 = 2-3i-1 = 1-3i, membrul drept: 1−3i1-3i, diferența este 00, deci valoarea absolută este 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.