MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie AnaliticăTrigonometrie
În planul cartezian, se consideră punctele A(0,0) și B(4,0). Punctul C este astfel încât triunghiul ABC are unghiul C = 90° și unghiul A = 60°. Determinați coordonatele punctului C.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm C(x,y). Din unghiul A = 60°, putem exprima coordonatele lui C în funcție de distanța AC = d: x=dcos⁡60∘=d2x = d \cos 60^\circ = \frac{d}{2}, y=dsin⁡60∘=d32y = d \sin 60^\circ = \frac{d\sqrt{3}}{2}.
23 puncte
Deoarece unghiul C = 90°, vectorii CA⃗\vec{CA} și CB⃗\vec{CB} sunt perpendiculari, deci produsul lor scalar este zero: CA⃗⋅CB⃗=0\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0. Avem CA⃗=(x,y)\vec{CA} = (x,y) și CB⃗=(x−4,y)\vec{CB} = (x-4,y), deci x(x−4)+y2=0x(x-4) + y^2 = 0.
33 puncte
Înlocuim x și y cu expresiile în d: d2(d2−4)+(d32)2=0\frac{d}{2} \left( \frac{d}{2} - 4 \right) + \left( \frac{d\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 0. Simplificăm: d24−2d+3d24=0\frac{d^2}{4} - 2d + \frac{3d^2}{4} = 0, adică d2−2d=0d^2 - 2d = 0, deci d(d−2)=0d(d-2)=0. Soluția d = 0 nu este validă pentru un triunghi, așadar d = 2.
42 puncte
Calculăm coordonatele lui C: x=22=1x = \frac{2}{2} = 1, y=232=3y = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. Astfel, C are coordonatele (1, 3\sqrt{3}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.