MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceEcuații iraționale
Să se determine toate soluțiile reale ale ecuației x+3+5−x=4\sqrt{x+3} + \sqrt{5-x} = 4 folosind identități algebrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabilim condițiile de existență: x+3≥0x+3 \geq 0 și 5−x≥05-x \geq 0, deci x∈[−3,5]x \in [-3,5].
23 puncte
Notăm a=x+3a = \sqrt{x+3} și b=5−xb = \sqrt{5-x}. Atunci a+b=4a+b=4 și a2+b2=(x+3)+(5−x)=8a^2 + b^2 = (x+3) + (5-x) = 8.
33 puncte
Folosim identitatea (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Avem 42=8+2ab4^2 = 8 + 2ab, deci 2ab=82ab = 8, ab=4ab=4.
42 puncte
Rezolvăm sistemul a+b=4a+b=4 și ab=4ab=4. Din aa și bb sunt nenegative, obținem a=b=2a=b=2. Atunci x+3=2\sqrt{x+3}=2 și 5−x=2\sqrt{5-x}=2, deci x=1x=1 și verificăm că satisface condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.